Математическая теория возможностей как альтернативная математической теории вероятностей модель феномена случайностей

Теория вероятностей как математическая модель феномена случайности используется в теоретических и прикладных исследованиях благодаря двум ее фундаментальным аспектам:

  1. математическому, основанному на теории меры и интеграла
  2. эмпирическому, основанному на простых, математически обоснованных процедурах, позволяющих при определенных условиях, с одной стороны, на основе данных событийно-частотных наблюдений получить сколь угодно точную аппроксимацию их вероятностной модели, а с другой — при известной вероятностной модели наблюдений предсказать их событийно-частотные результаты.

Вместе с тем вероятностные методы де-факто оказались неэффективными при моделировании сложных физических, технических, социальных и экономических объектов, субъективных суждений и т. д. Этим объясняется повышенный с середины прошлого века интерес к невероятностным моделям случайности, нечеткости и неопределенности.

Причины неэффективности вероятностных методов обусловлены многими факторами. Прежде всего, «эмпирический аспект» теории вероятностей далеко не так фундаментален, как математический, поскольку не содержит критерия вероятностной природы наблюдаемого феномена случайности и, как следствие, критерия упомянутых «определенных условий» наблюдения. Поэтому, возможно, что неточность и нечеткость, свойственная формулировкам моделей названных объектов, зачастую не может быть охарактеризована в вероятностных терминах, но теория вероятностей не позволяет ни подтвердить это, ни опровергнуть. С другой стороны, при эмпирическом построении и верификации вероятностной модели сложного, но заведомо стохастического объекта, как правило, возникают принципиальные трудности. Дело в том, что в этом случае требуются большие объемы данных наблюдений, которые, в конечном счете, обычно оказываются неполными и противоречивыми, поскольку за время получения данных объект заметно эволюционирует, его вероятностные характеристики, как правило, непредсказуемо изменяются и их оценки, естественно, оказываются неадекватными. В подобных случаях эмпирическое построение стохастической модели объекта невозможно, если данные наблюдений не позволяют оценить эволюцию его стохастических свойств.

Рассмотренные в монографии [1] варианты теории возможностей существенно лучше, чем теория вероятностей, приспособлены для моделирования упомянутых выше, в том числе стохастических, объектов, поскольку в то время как при эмпирическом построении вероятностной модели (Ω, P(Ω), Pr) стохастического объекта последняя должна быть неизменна в течение всего времени наблюдений, при эмпирическом построении возможностной модели (Ω, P(Ω), P) этого же объекта его вероятностная модель во время наблюдений может произвольно эволюционировать в пределах одного из классов {(Ω, P(Ω), Pr), Pr ∈ Pr(e)}, e ∈ Pr[0, 1], см. [1]. Это отличие существенно расширяет множество стохастических объектов, математические модели которых могут быть построены эмпирически, расширяет за счет включения стохастических объектов, возможностные модели которых могут быть построены эмпирически, а вероятностные — нет.

Разумеется, не следует думать, что возможностное моделирование непременно ориентировано на исследование недоопределенных стохастических объектов. На самом деле, возможностные модели характерны для нечетких, но не стохастических объектов. Вместе с тем возможностное моделирование оказалось весьма эффективным в областях, характерных для вероятностного моделирования, таких, например, как оптимальные решения, прогнозирование, анализ и интерпретация данных измерительного эксперимента и т. п., см. [1].

Литература

  1. Пытьев Ю.П. Возможность как альтернатива вероятности. Математические и эмпирические основы, применение — М.:ФИЗМАТЛИТ, 2007, 464 с., второе издание, переработанное, дополненное, 2011
  2. Пытьев Ю.П. Математические методы и алгоритмы эмпирического восстановления стохастических и нечетких моделей // Интеллектуальные системы, т. 11, вып. 1-4, 2007, с. 227-327
  3. Пытьев Ю.П. Эмпирическое восстановление мер возможности и правдоподобия возможности в моделях экспертных решений // Автоматика и телемеханика, №3, 2010, с 131-146
  4. Пытьев Ю.П. Шишмарев И.А. Теория вероятностей, математическая статистика и элементы теории возможностей для физиков — М.:Физический факультет МГУ им. Ломоносова, 2010, 406 с.