Вычислительная физика и элементы вычислительной геометрии

Аннотация

Курс посвящен изучению методов решения задач вычислительной физики, возникающих в различных областях. Значительная часть рассматриваемых в курсе задач взяты из современных, стремительно развивающихся областей физики – биофизики, теории открытых систем, нелинейной динамики. Приближенные решения сложных задач получаются как общими средствами вычислительной математики, так и специфическими для каждого узкого класса задач приемами, которые позволяют обходить существенные трудности в современной вычислительной физике.

Курс предназначен для студентов, специализирующихся в области математического моделирования и вычислительных методов в физике.

Программа

1. Введение. Природа вычислительной физики. Круг решаемых задач. Ограниченность математического аппарата. Дискретная природа вычислительной машины.
2. Непрерывные и дискретные среды. Периодичность координат как форма дискретности. Непрерывные и конечно-разностные операторы метод конечных элементов. Проблема масштабов в физике. Физически бесконечно малые размеры и промежутки времени. Естественный способ введения конечно-разностных уравнений.
3. Происхождение и некоторые свойства уравнений математической физики. Частицы и системы частиц. Дальнодействие в проблеме N тел. Движение отдельной частицы в потенциальном поле. Движение отдельной частицы в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Прямое моделирование дальнодействия в системе N тел.
4. Детерминистические и стохастические процессы. Равновесные статистические свойства моделей с двухчастичным взаимодействием. Метод молекулярной динамики. Усреднение по ансамблю: метод Монте-Карло.
5. Фазовые среды. Плотность частиц в фазовом пространстве. Уравнение Власова. Несжимаемость фазовой среды. Метод «водяного мешка». Несжимаемое течение как система вихревых частиц.
6. Диффузия. Броуновское движение. Уравнение Ланжевена. Уравнение Фоккера-Планка как пример флуктуационно-диссипационного соотношения. Диффузия в фазовом пространстве. Диффузия крупных частиц в задачах биофизики.
7. Расчет поля частиц. Среднее поле системы частиц. Непрерывные поля дальнодействующих сил. Столкновения и непрерывность. Дебаевский радиус. Плазменная и гравитационная частоты.
8. Бесстолкновительная модель частиц в ячейке. Применение бесстолкновительной модели частиц в ячейке к моделированию плазмы. Применение бесстолкновительной модели частиц в ячейке к моделированию галактик. Столкновительная модель частиц в ячейке в гидродинамике.
9. Самосогласованные поля в квантовой теории и физике твердого тела. Атом как система нескольких частиц. Твердое тело как пример системы многих электронов.
10. Фазовые переходы. Кристаллизация в случае многокомпонентной среды, эвтектические сплавы. Проблема свободной границы. Метод фазового поля.
11. Высокотемпературные сверхпроводники. Слоистая структура высокотемпературных сверхпроводников. Взаимодействие абрикосовских вихрей. Моделирование фазовых переходов и образования упорядоченных структур в системе вихрей.
12. Математические модели в биофизике. Уравнения биохимической кинетики в исследовании процесса фотосинтеза. Автоматизация построения, анализа и решения систем уравнений биохимической кинетики.
13. Основные понятия нелинейной динамики. Фазовая плоскость, фазовая траектория. Аттракторы, репеллеры. Управляющие параметры и бифуркации. Методы нелинейной динамики в задачах биофизики.
14. Активная среда и ее основные свойства. Дискретизованная и непрерывная активная среда. Автоволновые процессы в активной среде. Режимы динамики автоволнового процесса, фазовый переход как вид бифуркации. Моделирование динамики автоволнового процесса в дискретизованной активной среде методом клеточных автоматов.
15. Возбудимые клетки. Клеточная сигнализация и различные уровни ее описания. Уравнения нелинейной динамики. Модель связанных генераторов. Синхронизация фазы. Каскад бифуркаций («лестница дьявола»).
16. Фракталы и их основные свойства. Фрактальные структуры в биофизике. Морфология клеточной структуры биологических тканей. Разбиение Вороного, оптимальная триангуляция. Построение модельной структуры биологических тканей.

Литература

1. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М., Мир, 1975.
2. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд-во МФТИ, 1994.
3. Иванов М.Ф., Гальбурт В.А. Численное моделирование динамики газов и плазмы методами частиц. М.: Изд-во МФТИ, 1994.
4. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
5. Зализняк В.Е. Основы вычислительной физики. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.