Теория меры

Спецкурс начинается с введения понятия множества и операций над множествами. Далее рассматриваются отображения, разбиения на классы, отношения эквивалентности. Вводятся системы множеств: кольцо, полукольцо, алгебра и σ-алгебра, рассматриваются функции множеств. Рассмотрение понятия меры начинается с меры плоских множеств, после чего вводится общее понятие меры и рассматриваются свойства меры, заданной на кольце. Ставится задача продолжения меры, рассматривается продолжение меры с полукольца на кольцо и все его свойства. Особое внимание уделяется счетной аддитивности. Вводится мера Стилтьеса, доказываются ее свойства. Основная часть курса посвящается Лебегову продолжению меры, свойствам класса измеримых по Лебегу множеств и меры Лебега. Измеримые функции рассматриваются со всеми их свойствами, уделено внимание их сходимости, доказываются основные теоремы, в том числе Егорова и Лузина. Достаточно подробно в курсе рассмотрен интеграл Лебега, его основные свойства, в том числе и как функции множества, теоремы об абсолютной непрерывности и монотонной сходимости интеграла и предельном переходе под знаком интеграла. Наконец, рассматриваются прямые произведения систем множеств и мер и теорема Фубини. Курс заканчивается введением пространства суммируемых функций и подробным рассмотрением пространств L₁ и L₂ . Несмотря на некоторую схематичность, спецкурс охватывает все основные аспекты теории меры, при этом все содержательные теоремы спецкурса приводятся с полными доказательствами.

Программа

1. Множества. Операции над множествами и их свойства. Отображения. Верхний и нижний пределы множеств.
2. Кольцо, полукольцо и их свойства.
3. σ-кольцо, δ-кольцо и их свойства. Борелевские множества.
4. Функции множеств. Свойства счетно-аддитивных функций, заданных на кольце.
5. Абстрактная мера. Свойства меры, заданной на кольце.
6. Задача продолжения меры. Примеры.
7. Продолжение меры с полукольца на кольцо, минимальное над ним и его свойства.
8. Счетная аддитивность меры.
9. Мера Стилтьеса. Теорема о счетной аддитивности меры Стилтьеса.
10. Лебегово продолжение меры.
11. Измеримость по Лебегу.
12. Свойства класса измеримых по Лебегу множеств.
13. Свойства меры Лебега. Пример неизмеримого множества.
14. Измеримые функции и их свойства.
15. Сходимость измеримых функций.
16. Теорема Егорова.
17. Теорема Лузина.
18. Интеграл Лебега.
19. Свойства интеграла Лебега.
20. Счетная аддитивность интеграла как функции множества.
21. Теоремы об интегрируемости |f| и ограниченной интегрируемости.
22. Теорема Чебышева.
23. Теоремы об абсолютной непрерывности и монотонной сходимости интеграла Лебега и их следствия.
24. Теорема Фату.
25. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.
26. Теорема Фубини.
27. Пространство L₁, его полнота, всюду плотные в L₁ множества.
28. Пространство L₂ как сепарабельное гильбертово пространство, сходимость в L₂.

Литература

1. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. "Элементы теории функций и функционального анализа"
2. П. Халмош. "Теория меры"