Основы функционального анализа и теории меры

Аннотация

Курс может быть интересен тем, кто намерен использовать методы функционального анализа для решения задач математического моделирования, планирования, анализа и интерпретации эксперимента, теории оптимизации и управления. Особое внимание, уделённое в курсе именно теории бесконечномерных линейных пространств и линейных функционало и операторов, объясняется тем, что бесконечномерные (и, прежде всего, интегральные) линейные модели характерны для многих явлений и измерительных процедур. В то же время решение задач с использованием этих моделей требует высокоразвитых математических методов. В настоящее время трудно обойтись без привлечения функционального анализа, позволяющего заменить рассмотрение каждой из далеких на первый взгляд проблем единым исследованием уравнений в абстрактных функциональных пространствах. Во многих случаях подобный подход позволяет не только получить решение исходной задачи, но и обнаружить более глубокие закономерности. Подробно рассматриваются базовые аспекты теории действительных метрических и нормированных пространств. Изучаются основные теоремы теории линейные функционалы и линейные операторы в банаховых пространствах.

Программа

1. Основные понятия теории метрических пространств. Метрика, открытые и замкнутые множества, плотные подмножества, сходимость и фундаментальность последовательностей элементов пространства. Примеры метрических пространств.
2. Полные метрические пространства. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра.
3. Пополнение неполных пространств. Примеры пополнений.
4. Компактность в метрических пространствах. Тождественность компактности и полной ограниченности.
5. Линейные действительные нормированные пространства. Основные понятия. Примеры. Линейные многообразия и линейные подпространства.
6. Линейные непрерывные функционалы над действительным линейным пространством и их свойства. Примеры. Теорема Хана-Банаха о продолжении функционала.
7. Линейный оператор. График оператора. Алгебра операторов.
8. Замкнутые операторы. Теоремы о замкнутом графике. Примеры замкнутых операторов.
9. Непрерывные операторы и их свойства. Примеры.
10. Банахово пространство непрерывных операторов. Равномерная ограниченность последовательности непрерывных операторов. Теорема Банаха о непрерывности оператора, обратного непрерывному.
11. Компактные операторы и их свойства. Примеры.

Литература

1. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.:«Наука»,1976.
2. Ф.Рисс, Б.Секефальви-Надь. Лекции по функциональному анализу. М.:«Мир»,1979.
3. Ю.П.Пытьев. Математические методы интерпретации эксперимента.М.:,«Высш.шк.»,1989.
4. П.Халмош. Гильбертово пространство в задачах. М.:,«Мир»,1979.
5. И.М.Гельфанд, Н.Я.Виленкин. Некоторые применения гармонического анализа. М.:,«Физматгиз»,1961.