Вычислительная геометрия и геометрическое моделирование

Курс посвящен изучению основных инструментов и приемов компьютерного моделирования кривых и поверхностей, а также способов представления моделей геометрических объектов. Рассматриваются элементы топологии и проективной геометрии. Изучаются задачи геометрического поиска и локализации точки, разбиения поверхностей, моделирования кривых линий, поверхностей и тел. Уделено внимание моделированию с учетом вариационных связей геометрических объектов.

Курс предназначен для студентов, специализирующихся в области математического моделирования и вычислительных методов.

Программа

1. Введение. Содержание термина «геометрия». Классическая геометрия. Различные представления о геометрии. Эрлангенская программа Клейна. Евклидова геометрия. Аффинная геометрия. Аффинные преобразования. Неевклидовы геометрии. Основные теоремы геометрии (Фалеса, Пифагора, Чевы, Менелая). Геометрия поверхностей.
2. Основные понятия проективной геометрии. Предмет проективной геометрии. Теорема Дезарга. Порядок точек на проективной прямой. Аксиома непрерывности. Проективная система координат. Формулы преобразования проективных координат. Принцип двойственности. Алгебраические кривые и пучки, поверхности и связки.
3. Элементы топологии. Теорема Эйлера. Многогранники. Поверхности. Односторонние поверхности. Проективная плоскость как замкнутая поверхность. Нормальные формы поверхностей конечной связности.
4. Топологическое отображение поверхности на себя. Неподвижные точки. Классы отображений. Универсальная накрывающая тора. Задачи о соседних областях, задача о нити, задача о красках.
5. Геометрический поиск. Задача локализации точки. Задача регионального поиска. Близость. Задача о единственности элементов. Задача о ближайшей паре методом «разделяй и властвуй». Решение задач о близости методом локусов.
6. Диаграмма Вороного. Триангуляция Делоне. Трехмерное разбиение Вороного. Алгоритм построения диаграммы Вороного в двухмерном и трехмерном случаях.
7. Геометрическое моделирование. Основы геометрического моделирования. Моделирование кривых линий. Моделирование поверхностей. Операции над кривыми и поверхностями. Топология оболочек.
8. Моделирование тел. Математическая модель тела. Построение симметричного тела. Построение тонкостенного тела. Последовательность моделирования тел.
9. Вариационные связи геометрических объектов. Вариационные связи точек в пространстве. Вариационные связи точек на кривых и поверхностях. Алгебраические связи.
10. Построение операторов. Интерполяция. Аппроксимация. Паде-аппроксиманты. Построение дифференциальных операторов.
11. Основы математического моделирования. Описание геометрических объектов. Однородные координаты. Криволинейные координаты. Ортогональные криволинейные координаты.
12. Математическая модель геометрии объектов. Математическая модель кривых линий. Аналитические линии. Сплайны. Кривые Безье. Составные кривые. Способы построения линий.
13. Моделирование поверхностей. Математическая модель поверхностей. Аналитические поверхности. Поверхности Кунса. Сплайновые поверхности. Поверхности Безье. Поверхности треугольной формы. Треугольные поверхности Безье. Треугольные сплайновые поверхности. Способы построения поверхностей.
14. Выпуклые оболочки. Алгоритм построения выпуклой оболочки на плоскости. Выпуклые оболочки в пространствах размерности большей двух.

Литература

1. Ефимов Н. В. «Высшая геометрия», М.: Наука, 1978.
2. Голованов Н. Н. «Геометрическое моделирование», М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
3. Препарата Ф., Шеймос М. «Вычислительная геометрия», М.: Мир, 1989.
4. Комацу М. «Многообразие геометрии», М.: Знание, 1981.
5. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. «Численные методы и программное обеспечение», М.: Мир, 2001.
6. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. «Наглядная геометрия», М.: Наука, 1981.